题目内容
10.设函数D(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{1,x为有理数}\\{0,x为无理数}\end{array}}$,有下列四个结论:①D(x)的值域为{0,1};②D(x)是偶函数;③D(x)不是周期函数;④D(x)不是单调函数;其中正确的是①②④(填序号)
分析 由函数D(x)可得:①D(x)的值域为{0,1},即可判断出正误;
②?x∈Q,则-x∈Q,可得D(-x)=D(x)=1;当x∈∁RQ时同理可得D(-x)=D(x)=0,即可判断出函数的奇偶性;
③?a∈Q,且a≠0,则当x∈Q时,x+a∈Q,可得D(x+a)=D(x)=1;当x∈∁RQ时,同理可得D(x+a)=D(x)=0,即可判断出周期性;
④由③可知:D(x)不是单调函数,即可判断出正误.
解答 解:由函数D(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{1,x为有理数}\\{0,x为无理数}\end{array}}$,可得:
①D(x)的值域为{0,1},因此①正确;
②?x∈Q,则-x∈Q,∴D(-x)=D(x)=1;当x∈∁RQ时,-x∈∁RQ,∴D(-x)=D(x)=0,因此D(x)是偶函数,因此正确;
③?a∈Q,且a≠0,则当x∈Q时,x+a∈Q,∴D(x+a)=D(x)=1;当x∈∁RQ时,x+a∈∈∁RQ,∴D(x+a)=D(x)=0,因此D(x)是周期函数,任意非0有理数都是它的周期,因此③不正确.
④由③可知:D(x)不是单调函数,正确.
故答案为:①②④.
点评 本题考查了函数D(x)的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
14.已知函数f(x)满足f(sinx)=sin2x.则f(cos75°)的值为( )
A. | -$\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
18.若两个分类变量X与Y的列联表为:
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的概率为0.01.
y1 | y2 | 总计 | |
x1 | 10 | 15 | 25 |
x2 | 40 | 16 | 56 |
总计 | 50 | 31 | 81 |
5.某单位有老年人30 人,中年人60人,青年人90人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为36样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是( )
A. | 6,12,18 | B. | 7,11,19 | C. | 6,13,17 | D. | 7,12,17 |
19.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,侧棱AA1垂直于底面ABC,且AA1=4,则此三棱柱外接球的表面积为( )
A. | $\frac{13}{3}π$ | B. | $\frac{16}{3}π$ | C. | $\frac{42}{3}π$ | D. | $\frac{64}{3}π$ |