Question

（I）给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N*都成立，则称数列{c_n}是“M类数列”．
（i）若an=3•2n，n∈N*，数列{a_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（ii）若数列{b_n}的前n项和为Sn=n2+n，证明数列{bn}是“M类数列”．
（Ⅱ）若数列{an}满足a1=2，an+an+1=2n(n∈N*)，求数列{an}前2013项的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（i）由a_n的表达式即可得出a_n+1的表达式，再利用“M”数列的定义进行判断即可．
（ii）利用bn=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

先求出数列{b_n}的通项公式，再利用“M”数列的定义进行判断即可．
（Ⅱ）根据数列{a_n}满足的条件：a₁=2，an+an+1=2n，分别令n=2，4，…2012．将以上这些式子相加即可得出S₂₀₁₃．

解答：解：（Ⅰ）（i）∵an=3•2n，n∈N*，
∴an+1=3×2n+1=2×(3×2n)=2×a_n=2a_n+0，
∴p=2，q=0
∴数列{a_n}是“M”数列．
（ii）当n=1时，b1=S1=12+1=2．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n．
上式对于n=1时也成立，
∴b_n=2n（n∈N^*）．
∴b_n+1=2（n+1）=2n+2=b_n+2．
∴数列{b_n}是“M”数列，且p=1，q=2．
（Ⅱ）∵an+an+1=2n（n∈N^*），∴a2+a3=22，a4+a5=24，…a2012+a2013=22012．
S₂₀₁₃=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=2+2²+2⁴+…+2²⁰¹²=2+

4×(41006-1)

4-1

=

22014+2

3

．
故数列{a_n}前2013项的和S₂₀₁₃=

22014+2

3

．

点评：理解“M”数列的定义及充分利用已知条件和数列求和的公式与方法是解题的关键．