Question

阅读：设Z点的坐标（a，b），r=|

OZ

|，θ是以x轴的非负半轴为始边、以OZ所在的射线为终边的角，复数z=a+bi还可以表示为z=r（cosθ+isinθ），这个表达式叫做复数z的三角形式，其中，r叫做复数z的模，当r≠0时，θ叫做复数z的幅角，复数0的幅角是任意的，当0≤θ＜2π时，θ叫做复数z的幅角主值，记作argz．
根据上面所给出的概念，请解决以下问题：
（1）设z=a+bi=r（cosθ+isinθ） （a、b∈R，r≥0），请写出复数的三角形式与代数形式相互之间的转换关系式；
（2）设z₁=r₁（cosθ₁+isinθ₁），z₂=r₂（cosθ₂+isinθ₂），探索三角形式下的复数乘法、除法的运算法则，请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则．（结论不需要证明）

Answer 1

分析：（1）利用复数三角形式中r 和θ的意义，复数与其在复平面内对应点间的关系得出复数的代数形式与三角形式间的互化公式．
（2）两个复数相乘的结果等于把两个复数的模相乘，幅角相加；两个复数相除的结果等于把两个复数的模相除，
幅角相减．

解答：解：（1）

a =rcosθ b=rsinθ

；    

r= a2+ b2 tanθ= b a

．
（2）三角形式下的复数乘法的运算法则：
z₁z₂=r₁（cosθ₁+isinθ₁）×r₂（cosθ₂+isinθ₂）=r₁r₂[cos（θ₁+θ₂）+isin（θ₁+θ₂）]．
三角形式下的复数除法的运算法则：

z1

z2

= 

r1(cosθ1+isinθ1)

r2(cosθ2+isinθ2)

=

r1

r2

[cos（θ₁-θ₂）+isin（θ₁-θ₂）]且（z₂≠0）．

点评：本题考查复数的代数形式与三角形式间的互化公式，两个复数三角形式的乘除法法则．