Question

A．如图，四边形ABCD内接于⊙O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB²=BE•CD．
B．已知矩阵M

2 -3 1 -1

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
C．已知圆的极坐标方程为：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

Answer 1

分析：A：连接AC．因为EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB．因为弧AB=弧AD，所以AB=AD．∠EAB=∠ACD．由题设条件推导出△ABE∽△CDA，从而证明出AB²=BE•CD．
B：依题意得由M=

2-3 1-1

，得|M|=1，故M-1=

-13 -12

，再由矩阵方程能求出点A的坐标．
C：（1）ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，转换得x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）圆的参数方程为

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

(α∈R)，由此能求出x+y的最大值和最小值．
D：当x＜0时，x不存在；当0≤x＜

1

2

时，解得0＜x＜

1

2

；当x≥

1

2

，解得

1

2

≤x＜2，由此能得到原不等式的解集．

解答：A 证明：连接AC．
因为EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB．
因为弧AB=弧AD，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD．
于是∠EAB=∠ACD．
又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE=∠D．
所以△ABE∽△CDA．
于是

AB

CD

=

BE

DA

，即AB•DA=BE•CD
所以AB²=BE•CD．

B 解：依题意得
由M=

2-3 1-1

，得|M|=1，故M-1=

-13 -12

，
从而由

2-3 1-1

x y

=

13 5

得

x y

=

-13 -12

13 5

=

-1×13+3×5 -1×13+2×5

=

2 -3

故

x=2 y=-3

即A（2，-3）为所求．

C 解：（1）ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，转换得x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）圆的参数方程为

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

（α∈R），
所以x+y=4+2sin(α+

π

4

)，那么x+y的最大值为6，最小值为2．

D 解：当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，解得x＞0
又∵x＜0，∴x不存在；
当0≤x＜

1

2

时，原不等式可化为-2x+1＜x+1，解得x＞0
又∵0≤x＜

1

2

，∴0＜x＜

1

2

；当x≥

1

2

，∴

1

2

≤x＜2
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．

点评：本题考查二阶行列式、圆的性质、极坐标和含绝对值的不等式，解题时要注意公式的灵活运用．