Question

已知对于任意非零实数a和b，不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：先分离出含有a，b的式子，即|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，问题转化为求左式的最小值即可．

解答：解：由题知，|2+x|+|2-x|≤

|2a+b|+|2a-b|

|a|

恒成立，
故|2+x|+|2-x|不大于

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值（4分）
∵|2a+b|+||2a-b≥|2a+b+2a-b|=4|a|，
当且仅当（2a+b）（2a-b）≥0时取等号，∴

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值等于4．（8分）
∴x的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解．
解不等式得-2≤x≤2．（10分）

点评：本题主要考查了不等式的恒成立问题，通常采用分离参数的方法解决，属于基础题．