题目内容
【题目】如图，椭圆C1： 
+y2=1，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长． 
（1）求实数b的值；
（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交于D、E．
①证明： 
=0；
②记△MAB，△MDE的面积分别是S1 ， S2 ． 若 
=λ，求λ的取值范围．
【答案】
（1）解：由题意知：半长轴为2，则有2 
=2
∴b=1
（2）解：①证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线的方程为y=kx．
与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣kx﹣1=0，…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1．…
又点M的坐标为（0，﹣1），所以kMAkMB= 
× 
= 
=﹣1
故MA⊥MB，即MD⊥ME，故 
②设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，解得x=0或x=k1，则点A的坐标为（k1， 
）
同理可得点B的坐标为 
．
于是 
= 
= 
直线的方程为y=k1x﹣1，代入椭圆方程，消去y，可得（ 
）x2﹣8k1x=0，解得x=0或x= 
，则点D的坐标为 
；
同理可得点E的坐标 
于是S2= 
= 
因此 
，
又由点A，B的坐标可知，k= 
= 
，平方后代入上式，
所以λ= 
故λ的取值范围为[ 
）
【解析】（1）确定半长轴为2，利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长，可求b的值；（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M的坐标为（0，﹣1），可得kMAkMB=﹣1，从而得证；②设直线的斜率为k1 ， 则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，从而可得点A的坐标、点B的坐标，进而可得S1 ， 同理可得S2 ， 进而可得比值，由可得λ的取值范围．
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