求证:可导且为偶函数,则f′(x)为奇函数;可导且为奇函数,则f′(x)为偶函数. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

求证:(1)若f(x)可导且为偶函数,则f′(x)为奇函数;

(2)若f(x)可导且为奇函数,则f′(x)为偶函数.

思路分析:只需证明f′(-x)=-f′(x)或f′(-x)=f′(x)即可.

解:(1)依题意,设x是定义域内的任一实数,则f(-x)=f(x),两边对x求导得f′(-x)(-x)′=f′(x),即f′(-x)=

-f′(x).∴f′(x)是奇函数.

(2)依题意,设x是定义域内的任一实数,则f(-x)=-f(x),两边对x求导得-f′(-x)=-f′(x).

∴f′(-x)=f′(x),f′(x)是偶函数.

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(1)若f(x)=0的两个实根α、β满足|α|+|β|=2,求α的值;

(2)b∈R,若|x-b|＜1,求证:|f(x)-f(b)|＜2(|b|+1).

(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b,c的值;

(2)若f(x)在x∈(-∞,x₁)和x∈(x₂,+∞)上单调递增，且在x∈(x₁,x₂)上单调递减，又满足x₂-x₁＞1.求证：b²＞2(b+2c).

(1)若f(x)在(-∞，-1)和(3，+∞)上都是增函数，在(-1，3)上是减函数，且f(0)=-7，f′(0)=-18，求函数f(x)的表达式；

(2)若a、b、c满足b²-3ac＜0，求证：f(x)在(-∞，+∞)上是单调函数；

(3)设a＞0，x₁、x₂是函数g(x)=f(x)-ax³-x²-a(a²+c)x的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2，证明：0＜a≤1．

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