题目内容
对任意x∈R,给定区间[k-

整数之差的绝对值.
(1)当



(2)求

(3)当



【答案】分析:(1)当x∈[-
]时,根据定义,写出f(x)的解析式;当x∈[k-
,k+
](k∈z)时,由定义知:k为与x最近的一个整数,写出解析式即可;(2)根据(1)求得
即可,利用奇偶性的定义即可判断函数f(x)(x∈R)的奇偶性,(3)要求方程
的根,即求|x-k|-
logax=0的根,分类讨论,去掉绝对值符号,即可求得方程根的个数.
解答:解:(1)当x∈[-
]时,
由定义知:x与0距离最近,f(x)=|x|,x∈[-
]
当x∈[k-
,k+
](k∈z)时,
由定义知:k为与x最近的一个整数,故
f(x)=|x-k|,x∈[k-
,k+
](k∈z);
(2)
=
,
判断f(x)是偶函数.
对任何x∈R,函数f(x)都存在,且存在k∈Z,满足
k-
≤x≤k+
,f(x)=|x-k|,
由k-
≤x≤k+
,可以得出-k-
≤-x≤-k+
,
即-x∈[-k-
,-k+
],
由(Ⅰ)的结论,f(-x)=|-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),
即f(x)是偶函数.
(3)解:
,即|x-k|-
logax=0,
①当x>1时,|x-k|≥0>
logax,
∴|x-k|-
logax=0没有大于1的实根;
②容易验证x=1为方程|x-k|-
logax=0的实根;
③当
时,方程|x-k|-
logax=0变为1-x-
logax=0
设H(x)=
logax-(1-x)(
)
则H′(x)=
,
所以当
时,H(x)为减函数,H(x)>H(1)=0,
所以方程没有
的实根;
④当
时,方程|x-k|-
logax=0变为x-
logax=0
设G(x)=
logax-x(
),显然G(x)为减函数,
∴G(x)≥G(
)=H(
)>0,
所以方程没有
的实根.
综上可知,当
时,方程
有且仅有一个实根,实根为1.
点评:此题是中档题.考查新定义求函数的解析式,以及利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,分类讨论求方程根的个数问题,体现了分类讨论的思想,同时考查了利用应用知识分析解决问题的能力和运算能力.






解答:解:(1)当x∈[-

由定义知:x与0距离最近,f(x)=|x|,x∈[-

当x∈[k-


由定义知:k为与x最近的一个整数,故
f(x)=|x-k|,x∈[k-


(2)



判断f(x)是偶函数.
对任何x∈R,函数f(x)都存在,且存在k∈Z,满足
k-


由k-




即-x∈[-k-


由(Ⅰ)的结论,f(-x)=|-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x),
即f(x)是偶函数.
(3)解:


①当x>1时,|x-k|≥0>

∴|x-k|-

②容易验证x=1为方程|x-k|-

③当



设H(x)=


则H′(x)=

所以当

所以方程没有

④当



设G(x)=


∴G(x)≥G(


所以方程没有

综上可知,当


点评:此题是中档题.考查新定义求函数的解析式,以及利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,分类讨论求方程根的个数问题,体现了分类讨论的思想,同时考查了利用应用知识分析解决问题的能力和运算能力.

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