题目内容
已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过（1，1）点，反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，f(x)=f1(x)+f2(x)（1）求函数f(x)的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解；
解：（1）由已知，设f1(x)=ax2,由f1(1)=1得a=1，∴f1(x)=x2,设f2(x)=
(k＞0)，它的图象与直线y=x的交点分别为A(
,
),B(-
,-
)，
由|AB|=8得k=8,∴f2(x)=
.
故f(x)=x2+
.
（2）由f(x)=f(a)得x2+
=a2+
,
而(x-a)(x+a-
)=0,方程一个解为x1=a,方程x+a-
=0化为
ax2+a2x-8=0,由a＞3知Δ＞0
∴x2=
,
x3=
.
∵x2＜0,x3＞0,x1≠x2,且x2≠x3,
x1=x3时可得a4=4a.
∴a=0或a=
.
这与a＞3矛盾，∴x1≠x3.
故原方程有三个实数解.
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