题目内容
已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．
分析：（1）由题意已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），设出函数的解析式，然后根据待定系数法求出函数的解析式；
（2）由已知f（x）=f（a），得x2+
=a2+
，在同一坐标系内作出f2（x）=
和f3（x）=-x2+a2+
的大致图象，然后利用数形结合进行讨论求证．
（2）由已知f（x）=f（a），得x2+
| 8 |
| x |
| 8 |
| a |
| 8 |
| x |
| 8 |
| a |
解答：解：（1）由已知，设f1（x）=ax2，过点（1，1），
即f1（1）=1，得a=1，
∴f1（x）=x2．
设f2（x）=
（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为
A（
，
）B（-
，-
）
由|AB|=8，得k=8，．∴f2（x）=
．故f（x）=x2+
．
（2）证法一：f（x）=f（a），得x2+
=a2+
，
即
=-x2+a2+
．
在同一坐标系内作出f2（x）=
和f3（x）=-x2+a2+
的大致图象，
其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
f3（x）与的图象是以（0，a2+
）为顶点，开口向下的抛物线．
因此，f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，
即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f2（2）=4，f3（2）=-4+a2+
当a＞3时，．f3（2）-f2（2）=a2+
-8＞0，
∴当a＞3时，在第一象限f3（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f2（x）图象的上方．
∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解．
证法二：由f（x）=f（a），得x2+
=a2+
，
即（x-a）（x+a-
）=0，得方程的一个解x1=a．
方程x+a-
=0化为ax2+a2x-8=0，
由a＞3，△=a4+32a＞0，得
x2=
，x3=
，
∵x2＜0，x3＞0，∴x1≠x2，且x2≠x3．
若x1=x3，即a=
，则3a2=
，a4=4a，
得a=0或a=
，这与a＞3矛盾，∴x1≠x3．
故原方程f（x）=f（a）有三个实数解．
即f1（1）=1，得a=1，
∴f1（x）=x2．
设f2（x）=
| k |
| x |
A（
| k |
| k |
| k |
| k |
由|AB|=8，得k=8，．∴f2（x）=
| 8 |
| x |
| 8 |
| x |
（2）证法一：f（x）=f（a），得x2+
| 8 |
| x |
| 8 |
| a |
即
| 8 |
| x |
| 8 |
| a |
在同一坐标系内作出f2（x）=
| 8 |
| x |
| 8 |
| a |
其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
f3（x）与的图象是以（0，a2+
| 8 |
| a |
因此，f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，
即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f2（2）=4，f3（2）=-4+a2+
| 8 |
| a |
当a＞3时，．f3（2）-f2（2）=a2+
| 8 |
| a |
∴当a＞3时，在第一象限f3（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f2（x）图象的上方．
∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解．
证法二：由f（x）=f（a），得x2+
| 8 |
| x |
| 8 |
| a |
即（x-a）（x+a-
| 8 |
| ax |
方程x+a-
| 8 |
| ax |
由a＞3，△=a4+32a＞0，得
x2=
-a2-
| ||
| 2a |
-a2+
| ||
| 2a |
∵x2＜0，x3＞0，∴x1≠x2，且x2≠x3．
若x1=x3，即a=
-a2+
| ||
| 2a |
| a4+32a |
得a=0或a=
| 3 | 4 |
故原方程f（x）=f（a）有三个实数解．
点评：此题考查了方程根的存在性及其个数的判断，还考查了待定系数法求函数的解析式，综合性比较强，难度比较大．
练习册系列答案
相关题目