题目内容
下列命题中正确的有
①若
与
满足
•
＞0，则
与
所成的角为锐角；
②若
与
不共线，
=λ1
+λ2
，
=μ1
+μ2
（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则
∥
的充要条件是λ1μ2-λ2μ1=0；
③若
+
+
=
，且|
|=|
|=|
|，则△ABC是等边三角形；
④若
与
为非零向量，且
⊥
，则|
+
|=|
-
|；
⑤设
，
，
为非零向量，若
•
=
•
，则
=
；
⑥若
，
，
为非零向量，则
•(
•
)=(
•
)•
．
②③④
②③④
（填序号）①若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
②若
| a |
| b |
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
| m |
| n |
③若
| OA |
| OB |
| OC |
| O |
| OA |
| OB |
| OC |
④若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
⑤设
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| a |
| c |
⑥若
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
分析：利用向量的数量积找出反例，直接判断①的正误；
通过向量平行的条件判断②的正误；
由向量的模的关系直接判断三角形的形状，判断③的正误；
通过向量模的几何意义判断④的正误；
通过向量数量积的运算找出反例，判断⑤的正误．
通过辛苦的数量积的运算直接判断⑥的正误．
通过向量平行的条件判断②的正误；
由向量的模的关系直接判断三角形的形状，判断③的正误；
通过向量模的几何意义判断④的正误；
通过向量数量积的运算找出反例，判断⑤的正误．
通过辛苦的数量积的运算直接判断⑥的正误．
解答：解：对于①若
与
满足
•
＞0，则
与
所成的角为锐角，如果两个向量共线同向，夹角是0°，
也满足题意，所以①不正确．
对于②若
与
不共线，
=λ1
+λ2
，
=μ1
+μ2
（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），
∥
，则
=λ
，
即λ1
+λ2
=λ(μ1
+μ2
)，所以
即λ1μ2-λ2μ1=0，反之也成立，所以②正确；
对于③若
+
+
=
，且|
|=|
|=|
|，则△ABC是等边三角形；正确．
对于④若
与
为非零向量，且
⊥
，则
+
，
-
为矩形的对角线，所以|
+
|=|
-
|，④正确．
对于⑤设
，
，
为非零向量，若
•
=
•
，则
=
，
例如
=(1，0），
=(0，1)，
=(-2，0)，满足
•
=
•
，但是没有
=
，所以⑤不正确
对于⑥若
，
，
为非零向量，
•(
•
)表示与
共线的向量，(
•
)•
表示与
共线的向量，
则
•(
•
)=(
•
)•
是错误的，所以⑥不正确．
综上正确的有②③④．
故答案为：②③④．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
也满足题意，所以①不正确．
对于②若
| a |
| b |
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
| m |
| n |
| m |
| n |
即λ1
| a |
| b |
| a |
| b |
|
对于③若
| OA |
| OB |
| OC |
| O |
| OA |
| OB |
| OC |
对于④若
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
对于⑤设
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| a |
| c |
例如
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| a |
| c |
对于⑥若
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| a |
| b |
| c |
| c |
则
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
综上正确的有②③④．
故答案为：②③④．
点评：本题考查三角形的形状判断，命题的真假判断与应用，平面向量数量积的性质及其运算律，考查基本知识的灵活运用．
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