题目内容
如图,在直四棱柱(侧棱与底面垂直的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,给出以下结论:
(1)异面直线A1B1与CD1所成的角为45°;
(2)D1C⊥AC1;
(3)在棱DC上存在一点E,使D1E∥平面A1BD,这个点为DC的中点;
(4)在棱AA1上不存在点F,使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的.
其中正确的个数有
- A.1
- B.2
- C.3
- D.4
C
分析:直接利用已知条件推出异面直线所成的角判断(1)的正误;通过直线与平面的位置关系判断(2)的正误;通过直线与平面的平行判断(3)的正误;几何体的体积判断(4)的正误即可.
解答:解:(1)由题意可知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,所以△DD1C1是等腰直角三角形,A1B1∥C1D1,异面直线A1B1与CD1所成的角为45°,所以(1)正确.
(2)由题意可知,AD⊥平面DD1C1C,四边形DD1C1C是正方形,所以D1C⊥DC1,
可得D1C⊥AC1;(2)正确;
对于(3)在棱DC上存在一点E,使D1E∥平面A1BD,这个点为DC的中点,因为
DC=DD1=2AD=2AB,如图HG,所以E为中点,正确.
(4)设AB=1,则棱柱的体积为:=,当F在A1时,A1-BCD的体积为:=,显然体积比为,所以在棱AA1上存在点F,使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的,所以(4)不正确.
正确结果有(1)、(2)、(3).
故选C.
点评:本题考查棱柱的结构特征,几何体的体积的求法,直线与平面的位置关系的判断,考查空间想象能力计算能力.
分析:直接利用已知条件推出异面直线所成的角判断(1)的正误;通过直线与平面的位置关系判断(2)的正误;通过直线与平面的平行判断(3)的正误;几何体的体积判断(4)的正误即可.
解答:解:(1)由题意可知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC,所以△DD1C1是等腰直角三角形,A1B1∥C1D1,异面直线A1B1与CD1所成的角为45°,所以(1)正确.
(2)由题意可知,AD⊥平面DD1C1C,四边形DD1C1C是正方形,所以D1C⊥DC1,
可得D1C⊥AC1;(2)正确;
对于(3)在棱DC上存在一点E,使D1E∥平面A1BD,这个点为DC的中点,因为
DC=DD1=2AD=2AB,如图HG,所以E为中点,正确.
(4)设AB=1,则棱柱的体积为:=,当F在A1时,A1-BCD的体积为:=,显然体积比为,所以在棱AA1上存在点F,使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的,所以(4)不正确.
正确结果有(1)、(2)、(3).
故选C.
点评:本题考查棱柱的结构特征,几何体的体积的求法,直线与平面的位置关系的判断,考查空间想象能力计算能力.
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