Question

【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，

∴PC⊥AB．

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，

∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB

（2）解：取AP的中点O，连接CO、DO．

∵PC=AC=2，∴C0⊥PA，CO= ，

∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．

∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．

由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，

又∵AB=BC，AC=2，求得BC=

PB= ，CD=

∴

cos∠COD= ．

【解析】（1）要证AB⊥平面PCB，只需证明直线AB垂直平面PCB内的两条相交直线PC、CD即可；（2）取AP的中点O，连接CO、DO；说明∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角，然后解三角形求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．