Question

已知f（x）=2sinx（cosx-sinx），其中x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期，并从下列的变换中选择一组合适变换的序号，经过这组变换的排序，可以把函数y=sin2x的图象变成y=f（x）的图象；（要求变换的先后顺序）
①纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

2

倍，
②纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
③横坐标不变，纵坐标变为原来的

2

倍，
④横坐标不变，纵坐标变为原来的

2

2

倍，
⑤向上平移一个单位，⑥向下平移一个单位，
⑦向左平移

π

4

个单位，⑧向右平移

π

4

个单位，
⑨向左平移

π

8

个单位，⑩向右平移

π

8

个单位，
（2）在△ABC中角A，B，C对应边分别为a，b，c，f（A）=0，b=4，S_△ABC=6，求a的长．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，由三角函数的周期公式可算出最小正周期为T=π，结合三角函数图象变换的方法，可得y=sin2x的图象按照⑨③⑥或③⑨⑥的顺序变换，可得y=f（x）的图象；
（2）由（1）的解析式，结合三角形内角的范围解出A=

π

4

，代入三角形面积公式算出c=3

2

，最后利用余弦定理即可算出边a的长．

解答：解：（1）f（x）=2sinx（cosx-sinx）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=

2

sin（2x+

π

4

）-1…（3分）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π …（5分）
把y=sin2x的图象向左平移

π

8

，然后横坐标不变、纵坐标变为原来

2

倍，
再向下平移1个单位得到函数y=f（x）的图象．按照⑨③⑥或③⑨⑥的顺序变换即可…（8分）
（2）∵f（A）=0，即sin（2A+

π

4

）=

2

2

，且2A+

π

4

∈（

π

4

，

9π

4

）
∴2A+

π

4

=

3π

4

，解之得A=

π

4

…（10分）
S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×csin

π

4

=6，解之得c=3

2

…（10分）
根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=16+18-2×4×3

2

cos

π

4

=10
∴a=

10

（舍负）…（14分）．

点评：本题将三角函数式化简，求函数的周期和图象的变换，并依此解三角形ABC．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和正余弦定理等知识，属于中档题．