题目内容

已知函数 $数学公式$ ，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π．
（Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）（1）当cosθ=0时，f（x）=4x³，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，故无极值．
（II）f'（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，得x₁=0， $\text{[math]}$ ．由（1）知，只需分下面两种情况讨论．
（1）当cosθ＞0时，随x的变化f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在x= $\text{[math]}$ 处取得极小值，且f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＞0
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
（2）cos θ＜0时，随x的变化f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

∵f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）= $\text{[math]}$
若f（0）＞0则cosθ＞0与已知cosθ＜0矛盾
∴当cosθ＜0时，f（x）的极大值不会大于0
综上可得，要使得函数f（x）在R上的极小值大于0， $\text{[math]}$
（III）由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（ $\text{[math]}$ cosθ，+∞）内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
由（II）， $\text{[math]}$ 时，0＜cosθ＜ $\text{[math]}$
要使不等式 2a-1≥ $\text{[math]}$ cosθ关于参数θ恒成立，必有 2a-1≥ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
综上可得，a≤0或 $\text{[math]}$
分析：（I）先求函数的导数，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
（II）先求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数f（x）的极小值小于零建立不等关系，求出参数θ的取值范围即可．
（III）由②知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（ $\text{[math]}$ ，+∞）内都是增函数，只需（2a-1，a）是区间（-∞，0）与（ $\text{[math]}$ ，+∞）的子集即可．
点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．