Question

在一次数学竞赛中，共出甲、乙、丙三题，在所有25个参赛的学生中，每个学生至少解出一题；在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的两倍；只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1；只解一题的学生中，有一半没有解出甲题．问共有多少学生只解出乙题？

Answer 1

解：设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示之，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每个学生至少解出一题，故a+b+c+d+e+f+g=25①
由于没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，故b+f=2（c+f）②
由于只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1，故a=d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故a=b+c④
由②得：b=2c+f，f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得：2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4b+c=26⑨
∵c≥0，∴4b≤26，b≤6．
利用⑤⑨消去c，得f=b-2（26-4b）=9b-52
∵f≥0，∴9b≥52，b≥．
∵b∈Z，
∴b=6．即只解出乙题的学生有6人．
分析：先设出集合和集合的元素个数，再根据原题中的条件列出方程，化简方程，确定所求解的未知数的范围，再结合元素的个数为正整数这一特点，即可得解
点评：本题考查集合的表示方法：Venn图，以及集合运算和集合元素个数的关系和确定方法，要注意方程的变形和未知数范围的确定．属中档题