题目内容

已知函数 $数学公式$ ，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）若 $数学公式$ ，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 $数学公式$ ，把所得到的图象再向左平移 $数学公式$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间 $数学公式$ 上的最小值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴利用三角函数的降次公式，得f（x）= $\text{[math]}$ sin（2ωx）+cos（2ωx）=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）
∵函数f（x）的最小正周期为T= $\text{[math]}$ =π
∴2ω=2，可得函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
令 $\text{[math]}$ ＜2x+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ +kπ＜x＜ $\text{[math]}$ +kπ，其中k是整数，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴取k=0，得x∈ $\text{[math]}$
所以函数f（x）的单调递减区间是 $\text{[math]}$ ；
（2）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ ，
所得函数解析式为：y=2sin（4x+ $\text{[math]}$ ）
再把所得到的图象再向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=2sin[4（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]=2sin（4x+ $\text{[math]}$ ）
∵函数y=g（x）定义在区间 $\text{[math]}$ 上，
∴4x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]?sin $\text{[math]}$ ≤sin（4x+ $\text{[math]}$ ）≤sin $\text{[math]}$
即- $\text{[math]}$ ≤sin（4x+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$
∴函数y=g（x）的值域为[- $\text{[math]}$ ，1]，函数的最小值为- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用三角函数的降次公式进行化简，得f（x）=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期的公式，计算出ω的值，得到函数的表达式，最后根据函数函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间的结论，可以求得函数f（x）的单调递减区间；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律，得到变换后函数y=g（x）的解析式是：g（x）=2sin（4x+ $\text{[math]}$ ），然后根据函数y=Asin（ωx+φ）的单调性的结论，可得函数g（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的值域，从而得到y=g（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值．
点评：本题以一个特殊的三角函数为例加以研究，着重考查了三角函数中的恒等变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质和三角函数的最值等知识点，属于中档题．