题目内容
设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
(Ⅰ)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
(Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H．是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
答案：
解析：
提示：
解析：
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解析：(Ⅰ)如图1，设 可得 因为 将①式代入②式即得所求曲线 因为 当 两焦点坐标分别为 当 两焦点坐标分别为 (Ⅱ)解法1：如图2、3， 直线 依题意可知此方程的两根为 因为点H在直线QN上，所以 于是 而 即 故存在 解法2：如图2、3， 因为 依题意，由点 故 又 于是由④式可得 而 故存在
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，
，则由
，
，
，所以
，
．①
点在单位圆上运动，所以
．②
的方程为
．
，所以
时，曲线
是焦点在
轴上的椭圆，
，
；
时，曲线
是焦点在
轴上的椭圆，
，
．
，设
，
，则
，
，
的方程为
，将其代入椭圆
的方程并整理可得
．
，
，于是由韦达定理可得
，即
．
．
，
．
等价于
，
，又
，得
，
，使得在其对应的椭圆
上，对任意的
，都有
．
，设
，
，则
，
，
，
两点在椭圆
上，所以
两式相减可得
．③
．于是由③式可得
．④
，
，
三点共线，所以
，即
．
．
等价于
，即
，又
，
，使得在其对应的椭圆
提示：
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本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较高要求． |
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当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。