Question

（2013•佛山一模）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  2

• C．

  3

  3

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：先根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率．

解答：解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点与顶点
∴双曲线的顶点是(±

a2-b2

，0)，焦点是（±a，0）
设双曲线方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)
∴双曲线的渐近线方程为y=±

n

m

x
∵m=

a2-b2

，n2=a2-m2=b2
∴n=b
∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形
∴双曲线的渐近线方程为y=±x
∴m=n
∴a²-b²=b²
∴c²=a²-c²
∴a²=2c²
∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

故选D．

点评：本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的几何性质，考查椭圆的离心率，正确运用几何量的关系是关键．