Question

求证:双曲线-=1(a>0,b>0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值.

Answer 1

证法一:设P(x₀,y₀)是双曲线上任意一点,

由双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0,

可得P到bx+ay=0的距离d₁=;

P到bx-ay=0的距离d₂=.

∴d₁d₂=·=.

又P在双曲线上,∴+=1,即b²x₀²-a²y₀²=a²b².?

∴d₁·d₂=,即P到两条渐近线的距离之积为定值.

证法二:设双曲线上任一点P(asecθ,btanθ),?

∵双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0,

∴点P到直线bx+ay=0的距离

d₁= =,

点P到直线bx-ay=0的距离?

d₂= =.

∴d₁·d₂=·

==.

∴双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为?定值?.?

温馨提示:(1)所谓定值,是与P点在曲线上的位置无关,为了达到目标明确,可先通过特殊的情况,求出一个常数,猜想其定值.?

(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数),不作过高要求.在解题中灵活应用即可,类似于换元法解题,将可达到一元化的目的.