Question

求证:双曲线=1(a＞0,b＞0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值.

Answer 1

思路分析：可以在双曲线上任意找一点，把这点到两条渐近线的距离表示出来，化简即可看出.

证明:设双曲线上任一点P(asecθ,btanθ),

∵双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0,

∴点P到直线bx+ay=0的距离d₁=;

点P到直线bx-ay=0的距离d₂=.

∴d₁·d₂=.

∴双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为定值.

方法归纳 (1)所谓定值,是与P点在曲线上的位置无关的,为了达到目标明确,可先通过特殊的情况,求出一个常数,猜想其定值.

(2)双曲线=1(a＞0,b＞0)的参数方程为(θ为参数),不作过高要求,在解题中灵活应用,类似于换元法解题,将可达到一元化的目的.