题目内容

本题共有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则以所做的前2题计分.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=
1
1
,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15).求矩阵M.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是
x=2+2sinα
y=2cosα
(α是参数).
现以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,写出曲线C的极坐标方程.
(3)选修4-5:不等式选讲
解不等式|2x+1|-|x-4|>2.
分析:(1)设出M=
ab
cd
,则根据二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=
1
1
得到关于a,b,c,d的方程
a+b=3
c+d=3.
再根据矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),又可得到关于a,b,c,d的方程
-a+2b=9
-c+2d=15.

组成四元一次方程组即可求解
(2)先消去参数得出曲线C的直角坐标方程再结合:x2+y22,y=ρcosθ写出曲线C的极坐标方程为即可;
(3)令y=|2x+1|-|x-4|,通过分类讨论写出:y=
-x-5,x≤-
1
2
3x-3,-
1
2
<x<4
x+5,x≥4
,作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象观察图象得到|2x+1|-|x-4|>2的解集.
解答:解:精英家教网(1)解:设M=
ab
cd
,则
ab
cd
1
1
=3
1
1
=
3
3
,故
a+b=3
c+d=3.
(3分)
ab
cd
-1
2
=
9
15
,故
-a+2b=9
-c+2d=15.
(5分)
联立以上两方程组解得a=-1,b=4,c=-3,d=6,故M=
-14
-36
.(7分)
(2)解:曲线C的直角坐标方程是(x-2)2+y2=4,(3分)
因为x2+y22,y=ρcosθ,(5分)
故曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ.(7分)
(3)解:令y=|2x+1|-|x-4|,则y=
-x-5,x≤-
1
2
3x-3,-
1
2
<x<4
x+5,x≥4
(3分)
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象,
它与直线y=2的交点为(-7,2)和(
5
3
,2)
(6分)
所以|2x+1|-|x-4|>2的解集为(-x,-7)∪(
5
3
,+x)
(7分)
点评:本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、简单曲线的极坐标方程、圆的参数方程、绝对值不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
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