Question

本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换T₁是逆时针旋转90°的旋转变换，对应的变换矩阵为M₁，变换T₂对应的变换矩阵是；
（I）求点P（2，1）在T₁作用下的点Q的坐标；
（II）求函数y=x²的图象依次在T₁，T₂变换的作用下所得的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标系与参数方程
从极点O作一直线与直线l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一点P，使得OM•OP=12．
（Ⅰ）求动点P的极坐标方程；
（Ⅱ）设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知f（x）=|6x+a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集为，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x-1）＞b对一切实数x恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出M₁，可得点P（2，1）在T₁作用下的点Q的坐标．设变换为M，则M=M₂M₁=，设（x，y）是变换后曲线上的任意一点，与之对应的变换前的点是（x，y），根据 =，可得x=x-y，x=y，再由
又y=x²，得到 y-x=y²．
（2）设动点P的极坐标（ρ，θ），点M的极坐标为（ρ，θ），则ρρ=12，可得ρ=3cosθ （扣除极点）．
根据P的轨迹是以（1.5，0）为圆心，以1.5为半径的圆，得RP的最小值为1．
（3）由|6x+a|≥4 解得x≥，或 x≤，从而 =，=-，解得 a=1，求出f（x）
的解析式，求出f（x）+f（x-1）的最小值为12，可得b＜12．
解答：（1）解：（Ⅰ），点P（2，1）在T₁作用下的点Q的坐标为（-1，2）．…4分
（II）设变换为M，则M=M₂M₁=，设（x，y）是变换后曲线上的任意一点，与之对应的变换前的点是（x，y），
则有 =，∴x=x-y，x=y．
又y=x²，∴y-x=y²．
（2）解：（Ⅰ）设动点P的极坐标（ρ，θ），点M的极坐标为（ρ，θ），则ρρ=12．
又ρcosθ=4，∴ρ=3cosθ （扣除极点）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，动点P的轨迹是以（1.5，0）为圆心，以1.5为半径的圆，故RP的最小值为1．
（3）解：由|6x+a|≥4 解得x≥，或 x≤，∴=，=-，
解得 a=1． 此时，f（x）=|6x+1|，f（x+1）=|6x+7|，f（x-1）=|6x-5|．
f（x）+f（x-1）=|6x+7|+|6x-5|≥|（6x+7）-（6x-5）|=12，故b＜12．
点评：本题考查矩阵运算，简单曲线的极坐标方程，函数的恒成立问题，是一道基础题．