Question

函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx在x∈(0，

π

2

)上的值域为

(0，

2

+1]

．

Answer 1

分析：利用倍角公式将f（x）=2cos²x+2sinxcosx化为：f（x）=1+cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，x∈(0，

π

2

)从而可求得其置于

解答：解：∵f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x
=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
又0＜x＜

π

2

，
∴

π

4

＜2x+

π

4

＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin（2x+

π

4

）≤1，
∴0＜

2

sin（2x+

π

4

）+1≤

2

+1，
即0＜f（x）≤

2

+1．
故答案为；(0，

2

+1]．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，将f（x）=2cos²x+2sinxcosx化为：f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1是关键，突出考查倍角公式与辅助角公式及正弦函数的性质，属于中档题．