Question

如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k(k＞0).

（1）试将水槽的最大流量表示成关于θ的函数f(θ)；

（2）求当θ多大时，水槽的流量最大?

Answer 1

解:(1)设水槽的截面面积为S,则S=［a+(a+2acosθ)］·asinθ=a²sinθ(1+cosθ),

则f(θ)=kS=a²ksinθ(1+cosθ),θ∈(0,).

注:若遗漏系数k,

(2)因为f′(θ)=a²k(2cos²θ+cosθ-1),令f′(θ)=0,则2cos²θ+cosθ-1=0,

解得cosθ=或cosθ=-1.

由于0＜θ＜,得cosθ≠-1,所以cosθ=,此时θ=.

因为0＜θ＜时,f′(θ)＞0;＜θ＜时,f′(θ)＜0,

所以,当θ=时,水槽的流量最大.

注:若转化为多项式函数求最值的,仿此给分.