题目内容
【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点相同,
,
为椭圆的左、右焦点.
为椭圆上任意一点,△
面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线:
交椭圆
于
,
两点.
(i)若直线与
的斜率分别为
,
,且
,求证:直线
过定点,并求出该定点的坐标;
(ii)若直线的斜率时直线
,
斜率的等比中项,求△
面积的取值范围.
【答案】(1)(2)(i)
(ii)
【解析】
试题分析:(1)先根据抛物线的焦点
得
,再结合椭圆几何条件得当点
为椭圆的短轴端点时,△
面积最大,此时
,所以
.(2)(i)证明直线过定点问题,一般方法以算代证,即求出直线方程,根据方程特征确定其过定点,本题关键求出
之间关系即可得出直线过定点.由
得
,即
,因此联立直线与椭圆方程,结合韦达定理可得;(ii)先分析条件:直线
的斜率时直线
,
斜率的等比中项,即
,
,化简得
,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理可得
,这样三角形面积可用m表示,其中高利用点到直线距离得到,底边边长利用弦长公式得到:
,最后根据基本不等式求最值
试题解析:(1)由抛物线的方程得其焦点为
,所以椭圆中
,
当点为椭圆的短轴端点时,△
面积最大,此时
,所以
.
,
为椭圆的左、右焦点,
为椭圆上任意一点,△
面积的最大值为1,
所以椭圆的方程为.
(2)联立得
,
,得
(*)
设,
,则
,
,
(i),
,由
,得
,
所以,即
,
得,
所以直线的方程为
,因此直线
恒过定点,该定点坐标为
.
(ii)因为直线的斜率是直线
,
斜率的等比中项,所以
,即
,
得,得
,所以
,又
,所以
,
代入(*),得.
.
设点到直线
的距离为
,则
,
所以,
当且仅当,即
时,△
面积取最大值
.
故△面积的取值范围为
.
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