题目内容

20.函数f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x2+2x+3)的单调减区间是(-1,1),值域是[-2,+∞).

分析 由对数式的真数大于0求出f(x)的定义域,由二次函数的性质求出内函数的增区间,即为复合函数的减区间;求出真数的取值范围,结合外函数是减函数可得原函数f(x)的值域.

解答 解:由题意得-x2+2x+3>0,解得-1<x<3,
令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
因为函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减,
且函数y=${log}_{\frac{1}{2}}^{t}$在定义域上递减,
所以f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x2+2x+3)的单调减区间是(-1,1),
因为-1<x<3,所以0<t≤4,
则f(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}$(-x2+2x+3)≥${log}_{\frac{1}{2}}^{4}$=-2,
所以函数的值域是[-2,+∞),
故答案为:(-1,1);[-2,+∞).

点评 本题考查了对数函数的定义域、单调性,二次函数的性质,与对数函数有关的复合函数的单调性,考查了对数函数值域的求法,是中档题.

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