Question

已知命题：P：对任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立；q：函数f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1存在极大值和极小值．求使命题“p且q”为真命题的m的取值范围．

Answer 1

分析：若p真，求出

a2+8

在a∈[1，2]上的最小值，令|m-5|小于等于最小值解不等式求出m的范围，
若q真，令f（x）的导函数的判别式大于0，求出m的范围，求出命题q为真时m的范围；再根据复合命题真值表求出p真、q真时m的范围．

解答：解：命题P为真：对任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立．
∵

a2+8

≥3，a∈[1，2]，
∴应有|m-5|≤3，
解得2≤m≤8．
命题q为真：函数f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在极大值和极小值，
f'（x）=3x²+2mx+m+6
若存在极大值和极小值，则有△=4m²-12（m+6）＞0．
解得m＞6或m＜-3．
根据复合命题真值表，若“P且q”为真命题，则命题P，命题q都是真命题，
则使命题“p且q”为真命题的m的取值范围是：6＜m≤8．

点评：解决不等式恒成立问题常采用的方法是分离出参数，构造新函数，求函数的最值；求复合命题真假的问题常转化为构成复合命题的简单命题的真假问题来处理．