Question

18．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，2）
• B． （$\root{3}{4}$，2）
• C． [$\root{3}{4}$，2）
• D． （$\root{3}{4}$，2]

Answer 1

分析 由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（-2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=-log_a^x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答 解：设x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，
∴f（-x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1=2^x-1，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴当x∈[2，4]时，（x-4）∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=x^x-4-1；
当x∈[4，6]时，（x-4）∈[0，2]，
∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，
∴函数y=f（x）与函数y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上恰有三个交点，
通过画图可知：恰有三个交点的条件是$\left\{\begin{array}{l}{log}_{a}（6+2）＞3\\{log}_{a}（2+2）＜3\end{array}\right.$，解得：${2}^{\frac{2}{3}}$＜a＜2，

即$\root{3}{4}$＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（$\root{3}{4}$，2）．
故选：B

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．