Question

在坐标平面 内有一点列A_n（n=0，1，2，…），其中A₀（0，0），A_n（x_n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A_nA_n+1所在直线的斜率为2ⁿ（n=0，1，2，…）．
（1）求x₁，x₂
（2）求出数列{x_n}的通项公式x_n
（3）设数列{nx_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）写出A₀，A₁，A₂，通过直线的斜率直接求出求x₁，x₂．
（2）通过直线的斜率关系，推出xn+1-xn=(

1

2

)n，利用累加法求出数列{x_n}的通项公式x_n．
（3）写出数列{nx_n}的前n项和为S_n，利用错位相减法直接求S_n．

解答：解：（1）A₀（0，0），A₁（x₁，1），A₂（x₂，2）直线A₀A₁的斜率为2⁰=1，
∴x₁=1
直线A₁A₂的斜率为2，

2-1

x2-x1

=2，
∴x2=

3

2

（2）当n≥1时，A_n（x_n，n），A_n+1（x_n+1，n+1），
∴

n+1-n

xn+1-xn

=2n，xn+1-xn=(

1

2

)nx2-x1=

1

2

，x3-x2=(

1

2

)2，x4-x3=(

1

2

)3，…，xn-xn-1=(

1

2

)n-1
累加得：xn-x1=

1

2

+

1

22

+…+(

1

2

)n-1=1-(

1

2

)n-1，xn=2-(

1

2

)n-1，
检验当n=1时也成立，
∴xn=2-(

1

2

)n-1(n∈N*)
（3）nxn=2n-

n

2n-1

，令b_n=2n，对应的前n项和T_n=n（n+1）令cn=

n

2n-1

，对应的前n项和HnHn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

1

2

Hn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

两式相减得：

1

2

Hn=1+

1

2

+

2

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

∴Hn=4-

2+n

2n-1

∴Sn=n2+n-4+

2+n

2n-1

点评：本题是中档题，考查数列项的求法，直线的斜率的应用，考查数列累加法与错位相减法求和的重要方法，常考题型，值得同学们注意和学习．