Question

在坐标平面 内有一点列A_n（n=0，1，2，…），其中A（0，0），A_n（x_n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A_nA_n+1所在直线的斜率为2ⁿ（n=0，1，2，…）．
（1）求x₁，x₂
（2）求出数列{x_n}的通项公式x_n
（3）设数列{nx_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）写出A，A₁，A₂，通过直线的斜率直接求出求x₁，x₂．
（2）通过直线的斜率关系，推出，利用累加法求出数列{x_n}的通项公式x_n．
（3）写出数列{nx_n}的前n项和为S_n，利用错位相减法直接求S_n．
解答：解：（1）A（0，0），A₁（x₁，1），A₂（x₂，2）直线AA₁的斜率为2=1，
∴x₁=1
直线A₁A₂的斜率为2，，
∴
（2）当n≥1时，A_n（x_n，n），A_n+1（x_n+1，n+1），
∴，
累加得：，
检验当n=1时也成立，
∴
（3），令b_n=2n，对应的前n项和T_n=n（n+1）令
两式相减得：
∴
∴
点评：本题是中档题，考查数列项的求法，直线的斜率的应用，考查数列累加法与错位相减法求和的重要方法，常考题型，值得同学们注意和学习．