Question

如图，F₁和F₂分别是双曲线

x2

3

-

y2

b2

=1  ( b＞0 )的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则双曲线的半焦距c=

3+

3

．

Answer 1

分析：连接AF₁，根据△F₂AB是等边三角形可知∠AF₂B=60°，根据F₁F₂是圆的直径可表示出|AF₁|、|AF₂|，再由双曲线的定义可得

3

c-c=2a，即可得到离心率的值．

解答：解：连接AF₁，则∠F₁AF₂=90°，∠AF₂B=60°
∴|AF₁|=

1

2

|F1F2|=c，
|AF₂|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c，
∴

3

c-c=2a，
∴e=

c

a

=1+

3

，
又a=

3

，
∴c=

3

（1+

3

）=3+

3

故答案为：3+

3

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线的基本性质--离心率的求法．考查基础知识的灵活应用．