Question

设直线l₁：y=2x与直线l₂：x+y=3交于P点．
（1）当直线m过P点，且与直线l₀：x-2y=0垂直时，求直线m的方程；
（2）当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）根据斜率存在的直线相互垂直的充要条件k₁k₂=-1即可求出；
（2）先分斜率存在和不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可求出．

解答：解：由

y=2x x+y=3

，解得点P（1，2）．
（1）由直线l₀：x-2y=0可知：kl0=

1

2

．
∵m⊥l₀，∴直线m的斜率km=-

1

kl0

=-

1

1 2

=-2，
又直线m过点P（1，2），
故直线m的方程为：y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0．
（2）因为直线m过点P（1，2），
①当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0．
由坐标原点O到直线m的距离d=

|-k+2|

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
因此直线m的方程为：

3

4

x-y-

3

4

+2=0，即3x-4y+5=0．
②当直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=1，验证可知符合题意．
综上所述，所求直线m的方程为x=1或3x-4y+5=0．

点评：熟练掌握直线的位置关系与斜率的关系是解题的关键．