Question

已知对于任意的总有，且时，
① 求证: 在上是减函数
② 求在上的最大值和最小值。

Answer 1

①略
②f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

证明：(1)设x₁>x₂，则f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁－x₂＋x₂)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)＋f(x₂)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)
又∵x>0时，f(x)<0，而x₁－x₂>0，∴f(x₁－x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)，∴f(x)在R上是减函数．
(2)解：∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数．∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2 ，由题意知f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.