题目内容
已知椭圆C:
,F
为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:y=kx+m(km≠0)与椭圆C交于A、B两点,若线段AB中点在直线x+2y=0上,求△FAB的面积的最大值.
解:(1)由题意
,解得
,∴所求椭圆方程为
.
(2)直线l:y=kx+m(km≠0)与椭圆联立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(6-m2)>0,∴
设A(x1,y1),B(x2,y2)P(x0,y0),由韦达定理得
=
,
.
由点P在直线x+2y=0上,得k=1.
所以|AB|=
=
.
又点F
到直线AB的距离
.
∴△FAB的面积为
=
(|m|<
,m≠0).
设u(m)=(6-m2)(m+
)2(|m|<
,m≠0),则令u′(m)=-2(2m+3
)(m+
)(m-
)=0,可得m=-
或m=-
或m=
;
当
时,u′(m)>0;当
时,u′(m)<0;
当
时,u′(m)>0;当
时,u′(m)<0
又u(
)=
,
所以当m=
时,△FAB的面积取最大值
分析:(1)利用F
为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,建立方程组,求得几何量,即可求得椭圆方程;
(2)直线l:y=kx+m(km≠0)与椭圆联立,利用线段AB中点在直线x+2y=0上求得k的值,求出|AB|,及点F
到直线AB的距离
,表示出三角形的面积,利用求导数的方法,即可确定△FAB的面积的最大值.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查利用导数的方法求函数的最值,属于中档题.



(2)直线l:y=kx+m(km≠0)与椭圆联立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)=8(6-m2)>0,∴

设A(x1,y1),B(x2,y2)P(x0,y0),由韦达定理得



由点P在直线x+2y=0上,得k=1.
所以|AB|=


又点F


∴△FAB的面积为



设u(m)=(6-m2)(m+








当


当


又u(



所以当m=


分析:(1)利用F

(2)直线l:y=kx+m(km≠0)与椭圆联立,利用线段AB中点在直线x+2y=0上求得k的值,求出|AB|,及点F


点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查利用导数的方法求函数的最值,属于中档题.

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