题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ ，F $数学公式$ 为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，若线段AB中点在直线x+2y=0上，求△FAB的面积的最大值．

解：（1）由题意 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆联立，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（6-m²）＞0，∴ $\text{[math]}$
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）P（x₀，y₀），由韦达定理得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
由点P在直线x+2y=0上，得k=1．
所以|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又点F $\text{[math]}$ 到直线AB的距离 $\text{[math]}$ ．
∴△FAB的面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （|m|＜ $\text{[math]}$ ，m≠0）.
设u（m）=（6-m²）（m+ $\text{[math]}$ ）²（|m|＜ $\text{[math]}$ ，m≠0），则令u′（m）=-2（2m+3 $\text{[math]}$ ）（m+ $\text{[math]}$ ）（m- $\text{[math]}$ ）=0，可得m=- $\text{[math]}$ 或m=- $\text{[math]}$ 或m= $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，u′（m）＞0；当 $\text{[math]}$ 时，u′（m）＜0；
当 $\text{[math]}$ 时，u′（m）＞0；当 $\text{[math]}$ 时，u′（m）＜0
又u（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以当m= $\text{[math]}$ 时，△FAB的面积取最大值 $\text{[math]}$
分析：（1）利用F $\text{[math]}$ 为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，建立方程组，求得几何量，即可求得椭圆方程；
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆联立，利用线段AB中点在直线x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及点F $\text{[math]}$ 到直线AB的距离 $\text{[math]}$ ，表示出三角形的面积，利用求导数的方法，即可确定△FAB的面积的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查利用导数的方法求函数的最值，属于中档题．