Question

已知椭圆C：，F为其右焦点，A为左顶点，l为右准线，过F的直线l′与椭圆交于异于A点的P、Q两点．
（1）求的取值范围；
（2）若AP∩l=M，AQ∩l=N，求证：M、N两点的纵坐标之积为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y_i=k（x_i-1）（i=1，2），由消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韦达定理将=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）最终转化为=，通过换元即可求得的取值范围；
（2）右准线l的方程为x=4，由（1）可求得直线AP与AQ的方程，从而可得点M与点N的纵坐标，点M与点N的纵坐标之和为：，通分化简可得其结果为-9，问题解决．
解答：解：（1）∵椭圆C：，
∴其右焦点F（1，0），左顶点A（-2，0），
∴设直线l′斜率为k，则直线l′的方程为：y=k（x-1），
∴由消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y_i=k（x_i-1）（i=1，2），
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=；
∴=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（x₁+2）•（x₂+2）+y₁•y₂
=（x₁+2）•（x₂+2）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）•x₁•x₂+（2-k²）（x₁+x₂）+4+k²
=（1+k²）•+（2-k²）•（）+4+k²
=．
令μ=，则（27-4μ）k²=3μ，
∴k²=≥0，
∴0≤μ＜．
（2）由（1）可得直线AP的方程为：y=（x+2），AQ的方程为：y=（x+2），
∵右准线l的方程为：x=4，
∴直线AP与l的交点M的纵坐标为：，
同理可得直线AQ与l的交点N的纵坐标为：，
∴+=
=
=
=-9．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，难点在于直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理进行转化，着重考查方程思想与化归思想，突出运算能力的考查，属于难题．