题目内容

已知向量
a
=(m,n),
b
=(sinx,1),
c
=(cosx,sinx),
a
b
∈[-7,1]

(1)求
a
c
的最大值;
(2)若m>0,向量
OP
=
a
+
c
,求点P(x,y)的轨迹方程及|
a
+
c
|
的最大值.
分析:(1)因为
a
b
∈[-7,1]
,则msinx+n∈[-7,1],当m>0时,
m+n=1
-m+n=-7
;当m<0时,
m+n=-7
-m+n=1
,由此能求出最大值.
(2)由于 m>0,则
m=4
n=-3
,所以
OP
=
a
+
c
=(4+cosx0,-3+sinx0)=(x,y),由此能求出点P(x,y)的轨迹方程及|
a
+
c
|
的最大值.
解答:解:(1)因为
a
b
∈[-7,1]

则msinx+n∈[-7,1],
当m>0时,
m+n=1
-m+n=-7

解得
m=4
n=-3

当m<0时,
m+n=-7
-m+n=1

解得
m=-4
n=3

所以
a
c
=4cosx-3sinx=-5sin(x-φ)

由于x∈R,∴
a
c
的最大值为5
(2)由于 m>0,
则由(1)知
m=4
n=-3

∵向量
OP
=
a
+
c
,点P(x,y)
OP
=
a
+
c
=(4+cosx0,-3+sinx0)=(x,y)
x=4+cosx0
y=-3+sinx0

故点P(x,y)的轨迹方程为:(x-4)2+(y+3)2=1;
|
a
+
c
|
=|(4+cosx0,-3+sinx0)|
=
16+8cosx0+cos2x0+9-6sinx0+sin2x0

=
26-6sinx0+8cosx0

=
26+10sin(x0+θ)

|
a
+
c
|
的最大值为6.
点评:本题考查求
a
c
的最大值;若m>0,向量
OP
=
a
+
c
,求点P(x,y)的轨迹方程及|
a
+
c
|
的最大值.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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