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已知向量
a
=(m,n),
b
=(sinx,1),
c
=(cosx,sinx),
a
•
b
∈[-7,1]
(1)求
a
•
c
的最大值;
(2)若m>0,向量
OP
=
a
+
c
,求点P(x,y)的轨迹方程及
|
a
+
c
|
的最大值.
试题答案
相关练习册答案
分析:
(1)因为
a
•
b
∈[-7,1]
,则msinx+n∈[-7,1],当m>0时,
m+n=1
-m+n=-7
;当m<0时,
m+n=-7
-m+n=1
,由此能求出最大值.
(2)由于 m>0,则
m=4
n=-3
,所以
OP
=
a
+
c
=(4+cosx
0
,-3+sinx
0
)=(x,y),由此能求出点P(x,y)的轨迹方程及
|
a
+
c
|
的最大值.
解答:
解:(1)因为
a
•
b
∈[-7,1]
,
则msinx+n∈[-7,1],
当m>0时,
m+n=1
-m+n=-7
,
解得
m=4
n=-3
;
当m<0时,
m+n=-7
-m+n=1
,
解得
m=-4
n=3
.
所以
a
•
c
=4cosx-3sinx=-5sin(x-φ)
,
由于x∈R,∴
a
•
c
的最大值为5
(2)由于 m>0,
则由(1)知
m=4
n=-3
,
∵向量
OP
=
a
+
c
,点P(x,y)
∴
OP
=
a
+
c
=(4+cosx
0
,-3+sinx
0
)=(x,y)
∴
x=4+cos
x
0
y=-3+sin
x
0
,
故点P(x,y)的轨迹方程为:(x-4)
2
+(y+3)
2
=1;
|
a
+
c
|
=|(4+cosx
0
,-3+sinx
0
)|
=
16+8cos
x
0
+
cos
2
x
0
+9-6sin
x
0
+
sin
2
x
0
=
26-6sin
x
0
+8cos
x
0
=
26+10sin(
x
0
+θ)
,
∴
|
a
+
c
|
的最大值为6.
点评:
本题考查求
a
•
c
的最大值;若m>0,向量
OP
=
a
+
c
,求点P(x,y)的轨迹方程及
|
a
+
c
|
的最大值.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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已知向量
a
=(m,n)
,
b
=(cosθ,sinθ)
,其中m,n,θ∈R.若
|
a
|=4|
b
|
,则当
a
•
b
<
λ
2
恒成立时实数λ的取值范围是( )
A、
λ>
2
或
λ<-
2
B、λ>2或λ<-2
C、
-
2
<λ<
2
D、-2<λ<2
已知向量
a
=(m,n),
b
=(5,1)
,若向量2
a
+
b
与向量
a
-2
b
共线,则
m
n
=
.
已知向量
a
=(m,n),
b
=(cosθ,sinθ)
,其中m,n,θ∈R,若
|
a
|=4|
b
|
,则当
a
•
b
<
λ
2
恒成立时实数λ的取值范围是
λ>2或λ<-2
λ>2或λ<-2
.
已知向量
a
=(m,n),
b
=(1,2),
c
=(k,t)
,且
a
∥
b
,
b
⊥
c
,|
a
+
c
|=
10
,则mt的取值范围是( )
A.(-∞,1]
B.(0,1]
C.[-1,1]
D.(-1,1)
关 闭
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