Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（I）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意正整数n均有

c1

b1

+

c2

mb2

+

c3

m2b3

+…+

cn

mn-1bn

=（n+1）a_n+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项a_n和b_n，在求首项和公差时，主要根据先表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．
（2）由题先求出{a_n}的通项公式后再求S_n．仿写一个题目所给的条件，两式相减得到数列{c_n}的表达式，讨论当3m=1和当3m≠1两种情况，前一种用等差数列的前n项和公式，后一种情况用错位相减法来解出结果．

解答：解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，整理得2a₁d=d²．
∵a₁=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），
∴a_n=2n-1
由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
易求得b_n=3^n-1
（2）当n=1时，c₁=6；
当n≥2时，

cn

mn-1bn

=（n+1）a_n+1-na_n=4n+1，
∴c_n=（4n+1）m^n-1b_n=（4n+1）（3m）^n-1．
∴c_n=

6 n=1 (4n+1)(3m)n-1 n=2，3，4

当3m=1，即m=

1

3

时，
S_n=6+9+13+…+（4n+1）
=6+

(n-1)(9+4n+1)

2

=6+（n-1）（2n+5）=2n²+3n+1．
当3m≠1，即m≠

1

3

时，
S_n=c₁+c₂++c_n，即
S_n=6+9•（3m）+13•（3m）²++（4n-3）（3m）^n-2+（4n+1）（3m）^n-1．①
3mS_n=6•3m+9•（3m）²+13•（3m）³++（4n-3）（3m）^n-1+（4n+1）（3m）ⁿ．②
①-②得
（1-3m）S_n=6+3•3m+4•（3m）²+4•（3m）³++4•（3m）^n-1-（4n+1）（3m）ⁿ
=6+9m+4[（3m）²+（3m）³++（3m）^n-1]-（4n+1）（3m）ⁿ
=6+9m+

4[(3m)2-(3m)n]

1-3m

-（4n+1）（3m）ⁿ．
∴S_n=

6+9m-(4n+1)(3m)n

1-3m

+

4[(3m)2-(3m)n]

(1-3m)2

．
∴S_n=

m= 1 3 m≠ 1 3 .

点评：本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法，如基本量法，错位相减求和法等．本题是一个综合题，若在高考题中出现时，应该是一个合格的题目．