题目内容
已知p和q是两个不相等的正整数,且q≥2,则
=( )
lim |
n→∞ |
(1+
| ||
(1+
|
A、0 | ||
B、1 | ||
C、
| ||
D、
|
分析:本题考查数列的极限和运算法则,可用特殊值探索结论,即同时考查学生思维的灵活性.当不能直接运用极限运算法则时,首先化简变形,后用法则即可.本题也体现了等比数列求和公式的逆用.
解答:解析:法一特殊值法,由题意取p=1,q=2,
则
=
=
=
=
,可见应选C
法二∵1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)m-1=
∴(1+x)m-1=x[1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)m-1]
令x=
,m分别取p和q,则原式化为
=
∵
(1+
)=1,
(1+
)2=1,…,
(1+
)p-1=1,
所以原式=
=
(分子、分母1的个数分别为p个、q个)
故选C.
则
lim |
n→∞ |
(1+
| ||
(1+
|
lim |
n→∞ |
| ||||
|
lim |
n→∞ |
n |
1+2n |
1 |
2 |
p |
q |
法二∵1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)m-1=
1-(1+x)m |
1-(1+x) |
∴(1+x)m-1=x[1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)m-1]
令x=
1 |
n |
lim |
n→∞ |
(1+
| ||
(1+
|
lim |
n→∞ |
| ||||||||
|
∵
lim |
n→∞ |
1 |
n |
lim |
n→∞ |
1 |
n |
lim |
n→∞ |
1 |
n |
所以原式=
1+1+…+1 |
1+1+…+1 |
p |
q |
故选C.
点评:注意到本题的易错点:取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件,误选B;或不知变形而无法求解,或者认为是
型而误选B,看错项数而错选D.
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