Question

已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利（1-）万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？

Answer 1

解：设重组后，该企业年利润为y万元．
当待岗人员不超过1%时，由，x≤2000×1%=20，得0＜x≤20（x∈N），
则y=（2000-x）（3.5+1-）-0.5x=-5（x+）+9000.64；（3分）
当待岗人员超过1%且不超过5%时，由20＜x≤2000×5%，得20＜x≤100（x∈N），
则y=（2000-x）（3.5+0.9）-0.5x=-4.9x+8800．（6分）
∴（7分）
当0＜x≤20且x∈N时，有
y=-5（x+）+9000.64≤-5×+9000.64=8840.64，
当且仅当x=，即x=16时取等号，此时y取得最大值，最大值是8840.64；（9分）
当20＜x≤100且x∈N时，函数y=-4.9x+8800为减函数．
所以y＜-4.9×20+8800=8702．（11分）
综上所述，当x=16时，y有最大值8840.64万元．
即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗．（12分）
分析：利用在岗员工人数乘以留岗员工每人每年可为企业多创利；分两段求出企业年利润，得到的是分段函数；利用基本不等式求出第一段函数的最大值；再利用一次函数的单调性求出第二段函数的最小值，从两个最小值中比较出最小值．
点评：本题考查将实际问题转化为数学问题的能力、考查求分段函数的最值时分段求再挑出最值中的最值、考查利用基本不等式求函数的最值注意满足的条件：一正、二定、三相等．