题目内容

数列{an}和{bn}满足an=
1
n
(b1+b2+…+bn)（n=1，2，3…），求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
证明：必要性若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d
则an=
1
n
(nb1+
n(n-1)
2
d)=b1+
n-1
2
d
∵an+1-an=
d
2
，∴{an}为是公差为
d
2
的等差数列
充分性若{an}为等差数列，设首项a1，公差d
则b1+b2+…+bn=n[a1+（n-1）d]=dn2+（a1-d）
nb1+b2+…+bn-1=d（n-1）2+（a1-d）（n-1），（n≥2）
∴bn=2dn+（a1-2d），（n≥2）
当n=1时，b1=a1也适合
∵bn+1-bn=2d，∴{bn}是公差为2d的等差数列
练习册系列答案
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22、数列{an}和{bn}适合下列关系式an=5an-1-6bn-1，bn=3an-1-4bn-1，且a1=a，b1=b，求通项an和bn．
已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d≠0，且第一项、第三项、第十一项分别是等比数列{bn}的第一项、第二项、第三项．
（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（II）设数列{cn}对任意的n∈N*均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1，求数列{cn}的前n项和．
已知数列{an}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{bn}是等比数列，b1b2b3=27．
（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值．
（2012•蓝山县模拟）已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）数列{cn}满足cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
已知点(1，
1
3
)是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点．等比数列{an}的前n项和为f（n）-1．数列{bn}（bn＞0）的首项为1，且前n项和sn满足sn-sn-1=
sn
+
sn_1
(n≥2)
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{
1
bnbn_1
}的前n项和为Tn，问满足Tn＞
1000
2012
的最小正整数n是多少？

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