题目内容
已知点(1，
)是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点．等比数列{an}的前n项和为f（n）-1．数列{bn}（bn＞0）的首项为1，且前n项和sn满足sn-sn-1=
+
(n≥2)
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{
}的前n项和为Tn，问满足Tn＞
的最小正整数n是多少？
| 1 |
| 3 |
| sn |
| sn_1 |
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{
| 1 |
| bnbn_1 |
| 1000 |
| 2012 |
分析：（1）由点(1，
)是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，知f(1)=a=
，所以f(x)=(
)x，由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式．
（2）Tn=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
，利用裂项求和法能够求出满足Tn＞
的最小正整数．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）Tn=
| 1 |
| b1b2 |
| 1 |
| b2b3 |
| 1 |
| b3b4 |
| 1 |
| bnbn+1 |
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| (2n-1)×(2n+1) |
| 1000 |
| 2012 |
解答：解：（1）∵点(1，
)是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
∴f(1)=a=
，
∵等比数列{an}的前n项和为f（n）-1，f(x)=(
)x，
a1=f(1)-1=-
，
a2=[f（2）-1]-[f（1）-1]=-
，
公比q=
=
，
所以an=-
(
)n-1=-2(
)n，n∈N*；…（3分）
∵Sn-Sn-1=(
-
)(
+
)=
+
（n≥2）
又bn＞0，
＞0，
∴
-
=1；
∴数列{
}构成一个首相为1公差为1的等差数列，
=1+(n-1)×1=n，Sn=n2
当n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
∴bn=2n-1（n∈N*）．…（7分）
（2）Tn=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
=
(1-
)+
(
-
)+
(
-
)+…+
(
-
)
=
(1-
)=
，…（10分）
由Tn=
＞
得n＞
…（13分）
满足Tn＞
的最小正整数为84．…（14分）
| 1 |
| 3 |
∴f(1)=a=
| 1 |
| 3 |
∵等比数列{an}的前n项和为f（n）-1，f(x)=(
| 1 |
| 3 |
a1=f(1)-1=-
| 2 |
| 3 |
a2=[f（2）-1]-[f（1）-1]=-
| 2 |
| 9 |
公比q=
| a2 |
| a1 |
| 1 |
| 3 |
所以an=-
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵Sn-Sn-1=(
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
又bn＞0，
| Sn |
∴
| Sn |
| Sn-1 |
∴数列{
| Sn |
| Sn |
当n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
∴bn=2n-1（n∈N*）．…（7分）
（2）Tn=
| 1 |
| b1b2 |
| 1 |
| b2b3 |
| 1 |
| b3b4 |
| 1 |
| bnbn+1 |
=
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| (2n-1)×(2n+1) |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n+1 |
由Tn=
| n |
| 2n+1 |
| 1000 |
| 2012 |
| 500 |
| 6 |
满足Tn＞
| 1000 |
| 2012 |
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目