Question

3．已知函数f（x）=cos（x-φ），且${∫}_{0}^{\frac{2}{3}π}$f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一个对称中心为（　　）

• A． （$\frac{π}{12}$，0）
• B． （$\frac{π}{6}$，0）
• C． （$\frac{π}{4}$，0）
• D． （$\frac{π}{3}$，0）

Answer 1

分析 由条件求得$\sqrt{3}$cos（φ-$\frac{π}{3}$）=0，可取φ=-$\frac{π}{6}$，可得函数f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）．再根据余弦函数的图象的对称性，求得f（x）的图象的一个对称中心．

解答 解：由于函数f（x）=cos（x-φ），且${∫}_{0}^{\frac{2}{3}π}$f（x）dx=sin（x-φ）${|}_{0}^{\frac{2π}{3}}$
=sin（$\frac{2π}{3}$-φ）-sin（-φ）=sin$\frac{2π}{3}$cosφ-cos$\frac{2π}{3}$sinφ+sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosφ+$\frac{3}{2}$sinφ
=$\sqrt{3}$cos（φ-$\frac{π}{3}$）=0，
故可取φ=-$\frac{π}{6}$，函数f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）．
令x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{3}$，故函数f（x）的图象的对称中心为（kπ+$\frac{π}{3}$，0），k∈Z．
再结合所给的选项，
故选：D．

点评 本题主要考查求定积分，三角恒等变换，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．