题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2
的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=
,M,N分别为PB,PD的中点.


(1)证明:MN∥平面ABCD;
(2) 过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.




(1)证明:MN∥平面ABCD;
(2) 过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.
(1)只需证 MN∥BD;(2)
。

试题分析:(1)如图,连接BD.∵M,N分别为PB,PD的中点,∴在△PBD中,MN∥BD.
又MN?平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.
(2)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,2





设Q(x,y,z),则C





∵C







由A






对于平面AMN:设其法向量为n=(a,b,c).
∵A





则



∴n=

同理对于平面QMN,得其法向量为v=

记所求二面角A-MN-Q的平面角大小为θ,则cosθ=


∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为

点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。

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