Question

如图，设点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（不含各棱）的表面上，如果点P到棱
CC₁与A₁B₁的距离相等，则称点P为“Γ点”给出下列四个结论：
①在四边形BCC₁B₁内存在有限个“Γ点”；
②在四边形BCC₁B₁内存在无穷多个“Γ点”；
③在四边形A₁B₁C₁D₁内存在无穷多个“Γ点”；
④在四边形CDD₁C₁内不存在“Γ点”
其中，所有正确的结论序号是

②③④

．

Answer 1

分析：因为点P到棱CC₁与A₁B₁的距离相等，所以利用异面直线的公垂线的中点和动点到定点和定直线的距离相等的定义确定是否存在“Γ点”．

解答：解：因为CC₁与A₁B₁是异面直线，所以由正方体可知，B₁C₁是异面直线CC₁与A₁B₁的公垂线．
因为A₁B₁⊥面BCC₁B₁，所以平面BCC₁B₁内点到直线CC₁的距离和到B₁的距离相等，
因为点B₁是定点，CC₁是定直线，根据抛物线的定义可知，在四边形BCC₁B₁点P的轨迹是以B₁为焦点，以CC₁为准线的抛物线在BCC₁B₁内的部分，
所以在四边形BCC₁B₁内存在无穷多个“Γ点”，所以①错误，②正确．
因为CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁内，所以平面A₁B₁C₁D₁内点到直线A₁B₁的距离和到C₁的距离相等，
因为点C₁是定点，A₁B₁是定直线，根据抛物线的定义可知，在四边形ABCD点P的轨迹是以C₁为焦点，以A₁B₁为准线的抛物线在A₁B₁C₁D₁内的部分，
所以在四边形A₁B₁C₁D₁内存在无穷多个“Γ点”，所以③正确．
设正方体的棱长为1，在四边形CDD₁C₁内点P到AB的最短距离为1，而在四边形CDD₁C₁内点P到CC₁的最大距离是1，而此时点P位于D处，
因为P不在棱上，所以在四边形CDD₁C₁内不存在“Γ点”，所以④正确．．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查了空间点到直线距离的判断，考查学生分析问题的能力，综合性较强，难度较大．