Question

如图，设点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（不含各棱）的表面上，如果点P到棱CC₁与AB的距离相等，则称点P为“Γ点”给出下列四个结论：
①在四边形ABCD内不存在“Γ点”；
②在四边形ABCD内存在无穷多个“Γ点”；
③在四边形ABCD内存在有限个“Γ点”；
④在四边形CDD₁C₁内存在无穷多个“Γ点”
其中，所有正确的结论序号是

②

．

Answer 1

分析：因为点P到棱CC₁与AB的距离相等，所以利用异面直线的公垂线的中点和动点到定点和定直线的距离相等的定义确定是否存在“Γ点”．

解答：解：因为CC₁与AB是异面直线，所以由正方体可知，BC是异面直线CC₁与AB的公垂线．因为CC₁⊥面ABCD，所以平面ABCD内点到直线CC₁的距离和到C的距离相等，因为点C是定点，AB是定直线，根据抛物线的定义可知，在四边形ABCD点P的轨迹是以C为焦点，以AB为准线的抛物线在ABCD内的部分，所以在四边形ABCD内存在无穷多个“Γ点”，所以②正确，所以①③错误．
设正方体的棱长为1，在四边形CDD₁C₁内点P到AB的最短距离为1，而在四边形CDD₁C₁内点P到CC₁的最大距离是1，而此时点P位于D处，
因为P不在棱上，所以在四边形CDD₁C₁内不存在“Γ点”，所以④错误．
故答案为：②．

点评：本题主要考查了空间点到直线距离的判断，考查学生分析问题的能力，综合性较强，难度较大．