题目内容
已知△ABC的面积满足
≤S≤3，且
•
=6，
（Ⅰ）求f（B）=sin2B+2sinB•cosB+3cos2B的值域；
（Ⅱ）若
=(sinA，cosA)，
=(cosC，sinC)，求|2
-3
|的取值范围．
| 3 |
| AB |
| BC |
（Ⅰ）求f（B）=sin2B+2sinB•cosB+3cos2B的值域；
（Ⅱ）若
| p |
| q |
| p |
| q |
分析：（I）由三角形面积和数量积公式，联解可得tanB=-
，结合
≤S≤3得tanB∈[-1，-
]，从而
≤B≤
，再化简函数f（B）=2+
sin（2B+
），结合三角函数的图象与性质，可得函数f（B）的值域；
（II）由已知得向量
、
都是单位向量，将|2
-3
|平方化简得|2
-3
|2=13-12sinB，结合角B的取值范围则不难得到|2
-3
|2的取值范围，进而可得到|2
-3
|的取值范围．
| S |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3π |
| 4 |
| 5π |
| 6 |
| 2 |
| π |
| 4 |
（II）由已知得向量
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
解答：解（I）由S=
acsinB，得2S=acsinB
因为
•
=-accosB=6，所以-6=accosB
∴tanB=
=
=-
，
结合
≤S≤3，得-1≤tanB≤-
，
由角B为三角形内角可知，
≤B≤
…（2分）．
∵f（B）=sin2B+2sinB•cosB+3cos2B=1+sin2B+1+cos2B=2+
sin(2B+
)…（4分）
∵
≤2B+
≤
，函数f（B）在区间[
，
]上为增函数
∴当B=
时，函数有最小值为2+
sin
=1；当B=
时，函数有最大值为2+
sin
=
由此可得f(x)∈[1，
]…（6分）．
（II）由
=(sinA，cosA)，
=(cosC，sinC)可知：|
|=1，|
|=1．…（8分）．
∵A+B+C=π，∴A+C=π-B，得sin（A+C）=sinB
因此，|2
-3
|2=4
2+9
2-12
•
=13-12(sinAcosC+cosAsinC)=13-12sinB…（10分）
∵
≤B≤
，∴sinB∈[
，
]
由此可得：13-6
≤|2
-3
|2≤7，得到|2
-3
|∈[
，
]…（12分）．
| 1 |
| 2 |
因为
| AB |
| BC |
∴tanB=
| acsinB |
| accosB |
| 2S |
| -6 |
| S |
| 3 |
结合
| 3 |
| ||
| 3 |
由角B为三角形内角可知，
| 3π |
| 4 |
| 5π |
| 6 |
∵f（B）=sin2B+2sinB•cosB+3cos2B=1+sin2B+1+cos2B=2+
| 2 |
| π |
| 4 |
∵
| 7π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 23π |
| 12 |
| 3π |
| 4 |
| 5π |
| 6 |
∴当B=
| 3π |
| 4 |
| 2 |
| 7π |
| 4 |
| 5π |
| 6 |
| 2 |
| 23π |
| 12 |
5-
| ||
| 2 |
由此可得f(x)∈[1，
5-
| ||
| 2 |
（II）由
| p |
| q |
| p |
| q |
∵A+B+C=π，∴A+C=π-B，得sin（A+C）=sinB
因此，|2
| p |
| q |
| p |
| q |
| p |
| q |
∵
| 3π |
| 4 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
由此可得：13-6
| 2 |
| p |
| q |
| p |
| q |
13-6
|
| 7 |
点评：本题以平面向量的数量积运算为载体，求关于B的函数的值域和向量模长的取值范围，着重考查了平面向量数量积的运算公式、两角和与差的正弦函数和向量的模公式等知识，属于中档题．
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