题目内容

已知△ABC的面积为3，并且满足2
3
≤
AB
•
AC
≤6
3
，设
AB
与
AC
的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f(θ)=2
3
sin2(
π
4
+2θ)-2cos22θ-
3
的零点．
分析：（1）由△ABC的面积为3可得
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cosθ=6cotθ，再由2
3
≤
AB
•
AC
≤6
3
求得
3
3
≤cotθ≤
3
，从而求得θ的取值范围．
（2）化简f（θ）的解析式为2sin(4θ-
π
6
)-1，令f（θ）=0⇒sin(4θ-
π
6
)=
1
2
①，由θ∈[
π
6
， 
π
3
]，可得 4θ-
π
6
∈[
π
2
， 
7π
6
]②，由①②知4θ-
π
6
=
5π
6
，可得θ的值．
解答：解：（1）由题意可得 S=
1
2
•|
AB
|•|
AC
|•sinθ=3，故|
AB
|•|
AC
|=
6
sinθ
，可得
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cosθ=6cotθ，
∵2
3
≤
AB
•
AC
≤6
3
，∴2
3
≤6cotθ≤6
3
，故
3
3
≤cotθ≤
3
，故有 θ∈[
π
6
， 
π
3
]．
（2）f(θ)=2
3
sin2(
π
4
+2θ)-2cos22θ-
3
=
3
[1-cos(
π
2
+4θ)]-1-cos4θ-
3
=
3
sin4θ-cos4θ-1=2sin(4θ-
π
6
)-1，
令f（θ）=0⇒sin(4θ-
π
6
)=
1
2
①，
由θ∈[
π
6
， 
π
3
]，可得 4θ-
π
6
∈[
π
2
， 
7π
6
]②，
由①②知，4θ-
π
6
=
5π
6
，可得4θ=π，θ=
π
4
．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使
AP
=λ
AE
，
PD
=μ
CD
，
AB
=
a
，
BC
=
b
．
（1）求λ及μ；
（2）用
a
，
b
表示
BP
；
（3）求△PAC的面积．
已知△ABC的面积为
3
2
，且b=2，c=
3
，则sinA=（　　）
已知△ABC的面积为2
3
，AB=2，BC=4，则三角形的外接圆半径为
2或
4
21
3
2或
4
21
3
．
已知△ABC的面积为
1
4
(a2+b2-c2)，则C的度数是（　　）
（2012•温州一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为15，且E为AB的中点，求CE的长．

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