Question

已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=-1的距离．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），
由题意得，，
化简得y²=4x，
所以点M的轨迹C的方程为y²=4x．（4分）
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则点P的坐标为．
由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0．
因为直线l₁与曲线C于A，B两点，
所以x₁+x₂=2+，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=．
所以点P的坐标为．
由题知，直线l₂的斜率为，同理可得点的坐标为（1+2k²，-2k）．
当k≠±1时，有，
此时直线PQ的斜率k_PQ=．
所以，直线PQ的方程为，
整理得yk²+（x-3）k-y=0．
于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．（10分）
（Ⅲ）可求得|EF|=2，
所以△FPQ面积．
当且仅当k=±1时，“=”成立，所以△FPQ面积的最小值为4．（13分）
分析：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点P的坐标为．由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），由得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
（Ⅲ）题题设能求出|EF|=2，所以△FPQ面积．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．