题目内容
已知F
1,F
2为双曲线
-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.
(Ⅰ)若点P为双曲线与圆x
2+y
2=a
2+b
2的一个交点,且满足|PF
1|=2|PF
2|,求此双曲线的离心率;
(Ⅱ)设双曲线的渐近线方程为y=±x,F
2到渐近线的距离是
,过F
2的直线交双曲线于A,B两点,且以AB为直径的圆与y轴相切,求线段AB的长.
分析:(Ⅰ)由双曲线的定义及|PF
1|=2|PF
2|求出|PF
1|和|PF
2|,给出的圆的半径为双曲线的半焦距,说明△F
1PF
2为直角三角形,利用勾股定理得关系式可求双曲线的离心率;
(Ⅱ)由双曲线的渐近线方程为y=±x,说明双曲线为等轴双曲线,再由F
2到渐近线的距离是
,结合a
2+b
2=c
2即可求出双曲线方程,利用双曲线的焦半径公式求出A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)到F
2的距离,根据以AB为直径的圆与y轴相切,得到
=|AB|=(|AF2|+|BF2|),代入坐标后整理即可得到线段AB的长.
解答:解:(Ⅰ)由题设得:
| |PF1|=2|PF2| | |PF1|-|PF2|=2a |
| |
,得|PF
1|=4a,|PF
2|=2a,
因为点P为双曲线与圆x
2+y
2=a
2+b
2=c
2的一个交点,∴PF
1⊥PF
2,
∴
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则16a
2+4a
2=4c
2,即5a
2=c
2,故离心率
e==;
(Ⅱ)∵双曲线的渐近线方程为y=±x,F
2到渐近线的距离是
,
∴
=,所以c=2,又
=1,a
2+b
2=c
2,得a=b=
,
所以双曲线方程为x
2-y
2=2,F
2(2,0),
e=.
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),由双曲线的焦半径公式得:
|AF2|=ex1-a=x1-,
|BF2|=ex2-a=x2-,
∵以AB为直径的圆与y轴相切,∴
=|AB|=(|AF2|+|BF2|).
∴
x1+x2=(x1+x2)-2,则
x1+x2==4+2,
所以
|AB|=x1+x2=4+2.
点评:本题考查双曲线的基本性质、双曲线方程的求法以及直线与双曲线的综合问题.直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.
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