Question

已知F₁，F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若点P为双曲线与圆x²+y²=a²+b²的一个交点，且满足|PF₁|=2|PF₂|，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F₂到渐近线的距离是

2

，过F₂的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线的定义及|PF₁|=2|PF₂|求出|PF₁|和|PF₂|，给出的圆的半径为双曲线的半焦距，说明△F₁PF₂为直角三角形，利用勾股定理得关系式可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）由双曲线的渐近线方程为y=±x，说明双曲线为等轴双曲线，再由F₂到渐近线的距离是

2

，结合a²+b²=c²即可求出双曲线方程，利用双曲线的焦半径公式求出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）到F₂的距离，根据以AB为直径的圆与y轴相切，得到

x1+x2

2

=

1

2

|AB|=

1

2

(|AF2|+|BF2|)，代入坐标后整理即可得到线段AB的长．

解答：解：（Ⅰ）由题设得：

|PF1|=2|PF2| |PF1|-|PF2|=2a

，得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
因为点P为双曲线与圆x²+y²=a²+b²=c²的一个交点，∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则16a²+4a²=4c²，即5a²=c²，故离心率e=

c

a

=

5

；
（Ⅱ）∵双曲线的渐近线方程为y=±x，F₂到渐近线的距离是

2

，
∴

c

2

=

2

，所以c=2，又

b

a

=1，a²+b²=c²，得a=b=

2

，
所以双曲线方程为x²-y²=2，F₂（2，0），e=

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由双曲线的焦半径公式得：|AF2|=ex1-a=

2

x1-

2

，
|BF2|=ex2-a=

2

x2-

2

，
∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴

x1+x2

2

=

1

2

|AB|=

1

2

(|AF2|+|BF2|)．
∴x1+x2=

2

(x1+x2)-2

2

，则x1+x2=

2 2

2 -1

=4+2

2

，
所以|AB|=x1+x2=4+2

2

．

点评：本题考查双曲线的基本性质、双曲线方程的求法以及直线与双曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．