题目内容

已知F1,F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点.
(Ⅰ)若点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2的一个交点,且满足|PF1|=2|PF2|,求此双曲线的离心率;
(Ⅱ)设双曲线的渐近线方程为y=±x,F2到渐近线的距离是
2
,过F2的直线交双曲线于A,B两点,且以AB为直径的圆与y轴相切,求线段AB的长.
分析:(Ⅰ)由双曲线的定义及|PF1|=2|PF2|求出|PF1|和|PF2|,给出的圆的半径为双曲线的半焦距,说明△F1PF2为直角三角形,利用勾股定理得关系式可求双曲线的离心率;
(Ⅱ)由双曲线的渐近线方程为y=±x,说明双曲线为等轴双曲线,再由F2到渐近线的距离是
2
,结合a2+b2=c2即可求出双曲线方程,利用双曲线的焦半径公式求出A(x1,y1),B(x2,y2)到F2的距离,根据以AB为直径的圆与y轴相切,得到
x1+x2
2
=
1
2
|AB|=
1
2
(|AF2|+|BF2|)
,代入坐标后整理即可得到线段AB的长.
解答:解:(Ⅰ)由题设得:
|PF1|=2|PF2|
|PF1|-|PF2|=2a
,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,
因为点P为双曲线与圆x2+y2=a2+b2=c2的一个交点,∴PF1⊥PF2
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则16a2+4a2=4c2,即5a2=c2,故离心率e=
c
a
=
5

(Ⅱ)∵双曲线的渐近线方程为y=±x,F2到渐近线的距离是
2

c
2
=
2
,所以c=2,又
b
a
=1
,a2+b2=c2,得a=b=
2

所以双曲线方程为x2-y2=2,F2(2,0),e=
2

设A(x1,y1),B(x2,y2),由双曲线的焦半径公式得:|AF2|=ex1-a=
2
x1-
2

|BF2|=ex2-a=
2
x2-
2

∵以AB为直径的圆与y轴相切,∴
x1+x2
2
=
1
2
|AB|=
1
2
(|AF2|+|BF2|)

x1+x2=
2
(x1+x2)-2
2
,则x1+x2=
2
2
2
-1
=4+2
2

所以|AB|=x1+x2=4+2
2
点评:本题考查双曲线的基本性质、双曲线方程的求法以及直线与双曲线的综合问题.直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.
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